I- Systèmes de coordonnées
On rappelle ici les 3 principaux types de coordonnées utilisées. correspond à un champ de vecteurs.
1.1 Coordonnées cartésiennes
base fixe
déplacement élémentaire :
volume élémentaire :
1.2 Coordonnées cylindriques
base mobile
déplacement élémentaire :
volume élémentaire :
1.3 Coordonnées sphériques
base mobile
déplacement élémentaire :
volume élémentaire :
II- Opérateurs différentiels
Les opérateurs différentiels sont des combinaisons de dérivées partielles par rapport aux coordonnées d’espace.
2.1 Gradient
2.1.1 Définition et propriétés
Le gradient s’applique à un champ scalaire et renvoie un champ vectoriel.
Définition : soit un champ scalaire, de variation élémentaire
pour un déplacement élémentaire du point
. Le gradient du champ scalaire
est le champ vectoriel
tel que :
Propriété 1 : en tout point ,
est un vecteur orthogonal à la surface équi-
passant par
.
Propriété 2 : en tout point ,
est dirigé vers les
croissants.
Propriété 3 : la circulation d’un gradient est indépendante du chemin suivi : .
Par conséquent, la circulation d’un gradient sur un contour fermé est nulle.
2.1.2 Expressions
-Coordonnées cartésiennes :
-Coordonnées cylindriques :
-Coordonnées sphériques :
2.2 Divergence
2.2.1 Définition et propriétés
La divergence s’applique à un champ vectoriel et renvoie un champ scalaire.
Définition : soit un champ vectoriel, soit
un volume élémentaire entourant le point
, et soit
la surface élémentaire limitant
. Soit enfin
le flux élémentaire sortant du champ
à travers la surface
. On appelle divergence en
du champ
le champ scalaire
tel que :
Propriété 1 : la divergence d’un champ caractérise dans quelle proportion ce champ diverge en un point de l’espace.
Propriété 2 : (théorème de Green-Ostrogradski) soit une surface fermée, orientée vers l’extérieur, et limitant un volume
. Le flux sortant de
à travers
est égal à l’intégrale de volume de
sur le volume
.
Propriété 3 : un champ est à flux conservatif si
. Son flux à travers toute surface fermée est nul. Son flux est le même à travers toutes les surfaces appuyées sur le même contour.
2.2.2 Expressions
-Coordonnées cartésiennes :
-Coordonnées cylindriques :
-Coordonnées sphériques :
2.3 Rotationnel
2.3.1 Définition et propriétés
Le rotationnel s’applique à un champ vectoriel et renvoie un champ vectoriel.
Définition : soit un champ vectoriel, soit
un contour élémentaire, fermé et orienté, entourant le point
, et soit
la surface élémentaire limitée par
. Soit enfin
la circulation élémentaire du champ
sur le contour orienté
. On appelle rotationnel en
du champ
le champ vectoriel
tel que :
Propriété 1 : le rotationnel d’un champ permet d’exprimer comment, localement en un point , le champ
tourne autour de
.
Propriété 2 : (théorème de Stokes-Ampère) soit un contour fermé, limitant une surface (ouverte)
orientée d’après
. La circulation de
sur le contour orienté
est égale au flux sortant de
à travers
.
Propriété 3 : un champ dérive d’un potentiel si
. Sa circulation sur un contour fermé est nulle. Sa circulation sur un circuit quelconque ne dépend que des extrémités du circuit.
2.3.2 Expressions
-Coordonnées cartésiennes :
-Coordonnées cylindriques :
-Coordonnées sphériques :
2.4 Laplacien
2.4.1 Laplacien scalaire
Il s’applique à un champ scalaire et renvoie un champ scalaire.
Définition :
Expressions :
-Coordonnées cartésiennes :
-Coordonnées cylindriques :
-Coordonnées sphériques :
On notera en particulier que en coordonnées sphériques.
2.4.2 Laplacien vectoriel
Il s’applique à un champ vectoriel et renvoie un champ vectoriel.
Définition :
Expression en coordonnées cartésiennes :
2.5 Opérateur nabla
C’est un vecteur symbolique, noté , qui permet de noter commodément les différents opérateurs différentiels :
Notons en particulier qu’en coordonnées cartésiennes, on a :
III- Relations utiles entre opérateurs
Tous les opérateurs différentiels sont linéaires. On a les relations suivantes :