Théorèmes de Lebesgue

dimanche 6 novembre 2005
par Romain Krust

On démontre ici pour les fonctions continues par morceaux
les théorèmes de convergence monotone et dominée de Lebesgue (la
preuve est en fait adaptée aux fonctions réglées). Les
démonstrations des deux théorèmes, orientées "théorie de la
mesure« plutôt que »formes linéaires sur un espace fonctionnel",
sont indépendantes et très élémentaires.

I. Remarque préliminaire
II. Théorème de convergence monotone
III. Théorème de convergence dominée

Remarque préliminaire

Si $J$ est une réunion finie
d’intervalles bornés deux à deux disjoints, on désigne par
longueur de $J$ , et on note $L(J)$ , la somme des longueurs des
intervalles qui le composent. La linéarité de l’intégrale des
fonctions en escalier permet d’écrire (en notant $\chi_I$ la
fonction caractéristique de $I$ ) :

$L(I \cup J) = \int_{R} \chi_{I \cup J} = \int_R \chi_I + \chi_J - \chi_{I \cap J} = L(I) + L(J) - L(I \cap J)$

Théorème de convergence monotone

Theoreme 1
Soient $I$
un intervalle de $R$ , $f_n : I \to R$ une suite de fonctions
continues par morceaux et sommables, et $f : I \to R$ une fonction
continue par morceaux. On suppose :
$f_n \geq 0$
$f_{n+1} \geq f_n$
$f_n \to f$ simplement (quand $n \to \infty$ ).

Alors $f$ est sommable si et seulement si la suite $\left(\int_I f_n\right)_n$ est majorée et on a, dans ce cas,

$\int_I f = \lim_{n \to +\infty} \int_I f_n$

Ce théorème résulte aisément de l’énoncé suivant :

Théorème 2
Soient $I$ un intervalle de $R$ , et $f_n : I \to R$
une suite de fonctions positives, continues par morceaux et
sommables. On suppose :
$f_{n+1} \leq f_n$
$f_n \to 0$ simplement (quand $n \to \infty$ ).

Alors $\int_I f_n \to 0$ (quand
$n \to \infty$ ).

Pour établir cette implication, on considère $(f_n)_n$ , $f$ comme
dans le premier énoncé. Si $f$ est sommable, il suffit
d’appliquer le second énoncé à la suite $(f - f_n)_n$ . Sinon, il
existe, pour tout $A \geq 0$ , un segment $J$ de $I$ tel que
$\int_J f \geq A +1$ . Puisque $f - f_n$ décroît vers $0$ , le
second énoncé montre que $\int_J f_n$ converge vers $\int_J f$ . En
particulier, il existe un rang $N$ à partir duquel $\int_J f_n \geq A$ et, a fortiori, $\int_I f_n \geq A$ . Ceci prouve $\lim_{n \to +\infty} \int_I f_n = +\infty$ .

Preuve (du théorème 2)
1. Soient $\epsilon > 0$ et un
segment $J$ de $I$ tels que $\int_I f_0 - \int_J f_0 \leq \epsilon$ . On a $0 \leq \int_I f_n \leq \int_J f_n + \epsilon$ . Il
suffit donc de démontrer le résultat lorsque que $I$ est un
segment, ce que l’on suppose dans la suite.

2. Il existe une fonction en escalier $\phi_n$ telle que
$||f_n - \phi_n||_\infty \leq \frac{1}{3^{n+1}}$ . Posons $\psi_n = \phi_n + \frac{1}{3^n}$ . On a alors $f_n \leq \psi_n$ , et $\psi_n \to 0$ simplement en décroissant car

$\psi_{n+1} = \phi_{n+1} + \frac{1}{3^{n+1}} \leq f_{n+1} + \frac{1}{3^{n+2}} + \frac{1}{3^{n+1}} \leq f_n + \frac{2}{3^{n+1}} \leq \phi_n + \frac{1}{3^n} = \psi_n$

Il suffit
donc d’établir le résultat dans le cas des fonctions en escalier.

3. On suppose maintenant que $I$ est un segment et que $f_n$
est une fonction en escalier. Supposons par l’absurde l’existence
de $\eta >0$ tel que $\int_I f_n \geq \eta L(I)$ et fixons $\alpha < \eta$ (donc $\alpha < \|f_0\|_\infty$ ). Alors

$J_n = \{x \in I ;\ f_n(x) \geq \alpha\}$

est une réunion finie
d’intervalles dont la longueur totale est minorée par un $a > 0$
indépendant de $n$ . Plus précisément,

$\eta L(I) \leq \int_I f_n \leq \int_{J_n} f_n + \int_{I \setminus J_n} f_n \leq L(J_n) ||f_0||_\infty + \alpha (L(I) - L(J_n)),$

d’où

$L(J_n) \geq \frac{\eta - \alpha}{\|f_0\|_\infty-\alpha}L(I) = a$

Par ailleurs, $f_n \to 0$ entraîne $\bigcap_n J_n = \emptyset$ .
Ceci contredit le

Lemme 1
Soit $(J_n)_n$ une suite décroissante de réunions finies
d’intervalles du segment $I$ . S’il existe $a > 0$ tel que $L(J_n) \geq a$ , alors $\bigcap_n J_n \not= \emptyset$ .

Il reste à établir ce lemme. Pour cela, on va montrer qu’il existe
une suite décroissante $(K_n)_n$ de fermés non vides de $I$ tels
que $K_n \subset J_n$ . Le théorème des fermés emboîtés indiquera
que l’intersection des $K_n$ n’est pas vide, donc non plus celle
des $J_n$ .

Choisissons pour $K_0$ une réunion finie de segments contenue dans
$J_0$ et telle que $L(J_0 \setminus K_0) \leq a/2$ (il suffit de
"rogner" les extrémités ouvertes des intervalles qui composent
$J_0$ ). On a alors, pour tout $k \geq 1$ ,

$L(J_k \cap K_0) = L(J_k) - L(J_k \setminus K_0) \geq L(J_k) - L(J_0 \setminus K_0) \geq \frac{a}{2}$

De même,
désignons par $K_1$ une réunion finie de segments contenus dans
$J_1\cap K_0$ et vérifiant $L((J_1\cap K_0) \setminus K_1) \leq a/4$ . On a maintenant, pour tout $k \geq 2$ , $L(J_k \cap K_1) \geq \frac{a}{4}$ . Puis on choisit $K_2 \subset J_2 \cap K_1$ tel que
$L((J_2\cap K_1) \setminus K_2) \leq a/8$ , et on poursuit par
récurrence, ce qui fournit la suite $(K_n)_n$ désirée.

Théorème de convergence dominée

Theoreme 3
Soient $I$ un
intervalle de $R$ , et $f_n : I \to R$ une suite de fonctions
continues par morceaux. Soient $f : I \to R$ et $g : I \to R$ deux
fonctions continues par morceaux. On suppose :

$g$ positive et sommable
$|f_n| \leq g$ pour tout $n$
$f_n \to f$ simplement

Alors $\int_I f_n \to \int_I f$ .

Preuve
1. On se ramène sans difficulté au cas où $f_n$ est
positive, $f = 0$ , et $I$ est un segment. La fonction $g$ étant
continue par morceaux, elle est bornée sur ce segment, et il
existe $M \geq 0$ telle que $f_n \leq M$ pour tout $n$ . En
utilisant une suite $(\phi_n)_n$ de fonctions en escalier
positives telles que $\|f_n - \phi_n \|_\infty \leq \frac{1}{n+1}$ , on voit qu’il suffit d’établir le résultat dans le
cas des fonctions en escalier.

2. Nous supposons donc maintenant que $I$ est un segment, $f_n : I \to R$ est une suite de fonctions en escalier positives, qu’il
existe $M \geq 0$ tel que $f_n \leq M$ pour tout $n$ , et que $f_n \to 0$ simplement. Supposons par l’absurde que $\left(\int_I f_n\right)_n$ ne tende pas vers zéro. Alors, quitte à extraire une
sous-suite de $(f_n)_n$ , on peut supposer l’existence d’un $\eta >0$ tel que, pour tout $n$ , $\int_I f_n \geq \eta L(I)$ . Comme dans la preuve du
théorème de convergence monotone, choisissons $\alpha < \eta$ et
posons $a = \frac{\eta - \alpha}{M - \alpha}L(I)$ , $J_n = \{x \in I ;\ f_n(x) \geq \alpha\}$ : $(J_n)_n$ est une suite de réunions
finies d’intervalles vérifiant $L(J_n) \geq a$ . La preuve s’achève
au vu de la contradiction avec $f_n \to 0$ qu’apporte le

Lemme 2
Soit $I$ un segment, $(J_n)_n$ une suite de réunion finies
d’intervalles de $I$ vérifiant $L(J_n) \geq a$ . Il existe une
suite extraite $J_{n_k}$ telle que $\bigcap_k J_{n_k} \not= \emptyset$ .

Nous aurons besoin, pour établir ce lemme, d’étendre la notion de
longueur aux ouverts. On sait qu’un ouvert $U$ de $I$ s’écrit de
façon unique comme réunion au plus dénombrable d’intervalles
ouverts deux à deux disjoints de $I$ . Les longueurs de ces
intervalles forment une famille sommable [1] de réels
positifs. On appellera longueur de $U$ , et on notera $L(U)$ , la
somme de cette famille. Il est clair que $U \subset V$ entraîne
$L(U) \leq L(V)$ , et que si $U$ et $V$ sont deux ouverts disjoints
de $I$ , $L(U \cup V) = L(U) + L(V)$ .

Démontrons maintenant le lemme 2. On peut, quitte à substituer à
$J_n$ son intérieur dans $I$ , supposer que $J_n$ est une réunion
finie d’intervalles ouverts de $I$ . Dire qu’il existe une telle
suite extraite, c’est dire qu’il existe un point de $I$ qui
appartient à une infinité des $J_n$ . Ou, de manière équivalente,
qui appartient à $\bigcup_{n \geq N} J_n$ pour tout $N \geq 0$ . La
conclusion du lemme est donc équivalente à $\bigcap_{N \geq 0} \bigcup_{n \geq N} J_n \not= \emptyset$ . Comme $\left(\bigcup_{n \geq N} J_n\right)_N$ est une suite décroissante d’ouverts de
longueur au moins $a$ , cela résulte du nouveau

Lemme 3
Soit $I$ un segment, et $U_n$ une suite décroissante
d’ouverts de $I$ . S’il existe $a >0$ tel que $L(U_n) \geq a$ ,
alors $\bigcap_{n \geq 0} U_n \not= \emptyset$ .

Il s’agit d’une extension du lemme 1 aux ouverts, et on va
d’ailleurs se ramener à celui-ci en construisant une suite $V_n \subset U_n$ de réunions finies d’intervalles ouverts vérifiant
$V_{n+1} \subset V_n$ et $L(V_n) \geq a/2$ .

On sait que $U_0$ est une réunion au plus dénombrable
d’intervalles disjoints dont les longueurs forment une famille
sommable. Il est donc loisible de choisir un nombre fini de ces
intervalles dont la réunion $V_0 \subset U_0$ soit telle que
$L(U_0\setminus V_0) \leq \frac{a}{4}$ . Comme $U_k \subset U_0$ ,
pour $k \geq 1$ , chaque intervalle ouvert qui compose $U_k$ est
contenu dans un intervalle ouvert de $U_0$ . Il est donc soit
contenu dans $V_0$ , soit disjoint de $V_0$ . $U_k \cap V_0$ et $U_k \setminus V_0$ sont ainsi deux ouverts disjoints constitués chacun
d’une partie des intervalles ouverts qui composent $U_k$ . On peut
alors écrire

$L(U_k \cap V_0) = L(U_k) - L(U_k \setminus V_0) \geq L(U_k) - L(U_0 \setminus V_0) \geq \frac{a}{2} + \frac{a}{4}$

On choisit ensuite $V_1$ , réunion finie de certains des
intervalles qui composent l’ouvert $U_1 \cap V_0$ , tel que $L(U_1 \cap V_0 \setminus V_1) \leq \frac{a}{8}$ . On a alors pour tout
$k \geq 1$

$L(U_k \cap V_1) = L((U_k \cap V_0) \cap V_1) = L(U_k \cap V_0) - L((U_k \cap V_0) \setminus V_1) \geq \frac{a}{2} + \frac{a}{8}$

On poursuit par récurrence, construisant ainsi $V_n \subset U_n \cap V_{n-1}$ , réunion finie d’intervalles ouverts,
telle que $L(U_k \cap V_n) \geq \frac{a}{2} + \frac{a}{2^{n+2}}$
pour tout $k \geq n$ . On a bien $V_{n+1} \subset V_n$ , $L(V_n) \geq \frac{a}{2}$ , et le lemme 1 permet de conclure.

Remarques
1. On peut dans tout le texte remplacer
l’expression "fonction continue par morceaux" par l’expression
"fonction réglée".
2. La relation $L(U \cup V) = L(U) + L(V) - L(U \cap V)$ est
vraie, mais non triviale. On ne l’a pas utilisée ici.

[1] Une famille $(a_i)_i
\in I$ de réels positifs est dite sommable si la famille
$\left(\sum_i \in J a_i\right)_J$, $J$ parcourant l’ensemble des
parties finies de $I$, est majorée. Sa borne supérieure est alors
appelée somme de la famille $(a_i)_i \in I$.

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