I. Remarque préliminaire
II. Théorème de convergence monotone
III. Théorème de convergence dominée
Remarque préliminaire
Si est une réunion finie
d’intervalles bornés deux à deux disjoints, on désigne par
longueur de , et on note
, la somme des longueurs des
intervalles qui le composent. La linéarité de l’intégrale des
fonctions en escalier permet d’écrire (en notant la
fonction caractéristique de ) :
Théorème de convergence monotone
Theoreme 1
Soient
un intervalle de ,
une suite de fonctions
continues par morceaux et sommables, et une fonction
continue par morceaux. On suppose :
simplement (quand
).
Alors est sommable si et seulement si la suite
est majorée et on a, dans ce cas,
Ce théorème résulte aisément de l’énoncé suivant :
Théorème 2
Soient un intervalle de
, et
une suite de fonctions positives, continues par morceaux et
sommables. On suppose :
simplement (quand
).
Alors (quand
).
Pour établir cette implication, on considère ,
comme
dans le premier énoncé. Si est sommable, il suffit
d’appliquer le second énoncé à la suite . Sinon, il
existe, pour tout , un segment
de
tel que
. Puisque
décroît vers
, le
second énoncé montre que converge vers
. En
particulier, il existe un rang à partir duquel
et, a fortiori,
. Ceci prouve
.
Preuve (du théorème 2)
1. Soient et un
segment de
tels que
. On a
. Il
suffit donc de démontrer le résultat lorsque que est un
segment, ce que l’on suppose dans la suite.
2. Il existe une fonction en escalier telle que
. Posons
. On a alors
, et
simplement en décroissant car
donc d’établir le résultat dans le cas des fonctions en escalier.
3. On suppose maintenant que est un segment et que
est une fonction en escalier. Supposons par l’absurde l’existence
de tel que
et fixons
(donc
). Alors
d’intervalles dont la longueur totale est minorée par un

indépendant de

Par ailleurs,


Ceci contredit le
Lemme 1
Soit une suite décroissante de réunions finies
d’intervalles du segment . S’il existe
tel que
, alors
.
Il reste à établir ce lemme. Pour cela, on va montrer qu’il existe
une suite décroissante de fermés non vides de
tels
que . Le théorème des fermés emboîtés indiquera
que l’intersection des n’est pas vide, donc non plus celle
des .
Choisissons pour une réunion finie de segments contenue dans
et telle que
(il suffit de
"rogner" les extrémités ouvertes des intervalles qui composent
). On a alors, pour tout
,
désignons par







récurrence, ce qui fournit la suite

Théorème de convergence dominée
Theoreme 3
Soient un
intervalle de , et
une suite de fonctions
continues par morceaux. Soient et
deux
fonctions continues par morceaux. On suppose :
positive et sommable
pour tout
simplement
Alors .
Preuve
1. On se ramène sans difficulté au cas où est
positive, , et
est un segment. La fonction
étant
continue par morceaux, elle est bornée sur ce segment, et il
existe telle que
pour tout
. En
utilisant une suite de fonctions en escalier
positives telles que , on voit qu’il suffit d’établir le résultat dans le
cas des fonctions en escalier.
2. Nous supposons donc maintenant que est un segment,
est une suite de fonctions en escalier positives, qu’il
existe tel que
pour tout
, et que
simplement. Supposons par l’absurde que
ne tende pas vers zéro. Alors, quitte à extraire une
sous-suite de , on peut supposer l’existence d’un
tel que, pour tout
,
. Comme dans la preuve du
théorème de convergence monotone, choisissons et
posons ,
:
est une suite de réunions
finies d’intervalles vérifiant . La preuve s’achève
au vu de la contradiction avec qu’apporte le
Lemme 2
Soit un segment,
une suite de réunion finies
d’intervalles de vérifiant
. Il existe une
suite extraite telle que
.
Nous aurons besoin, pour établir ce lemme, d’étendre la notion de
longueur aux ouverts. On sait qu’un ouvert de
s’écrit de
façon unique comme réunion au plus dénombrable d’intervalles
ouverts deux à deux disjoints de . Les longueurs de ces
intervalles forment une famille sommable [1] de réels
positifs. On appellera longueur de , et on notera
, la
somme de cette famille. Il est clair que entraîne
, et que si
et
sont deux ouverts disjoints
de ,
.
Démontrons maintenant le lemme 2. On peut, quitte à substituer à
son intérieur dans
, supposer que
est une réunion
finie d’intervalles ouverts de . Dire qu’il existe une telle
suite extraite, c’est dire qu’il existe un point de qui
appartient à une infinité des . Ou, de manière équivalente,
qui appartient à pour tout
. La
conclusion du lemme est donc équivalente à . Comme
est une suite décroissante d’ouverts de
longueur au moins , cela résulte du nouveau
Lemme 3
Soit un segment, et
une suite décroissante
d’ouverts de . S’il existe
tel que
,
alors .
Il s’agit d’une extension du lemme 1 aux ouverts, et on va
d’ailleurs se ramener à celui-ci en construisant une suite de réunions finies d’intervalles ouverts vérifiant
et
.
On sait que est une réunion au plus dénombrable
d’intervalles disjoints dont les longueurs forment une famille
sommable. Il est donc loisible de choisir un nombre fini de ces
intervalles dont la réunion soit telle que
. Comme
,
pour , chaque intervalle ouvert qui compose
est
contenu dans un intervalle ouvert de . Il est donc soit
contenu dans , soit disjoint de
.
et
sont ainsi deux ouverts disjoints constitués chacun
d’une partie des intervalles ouverts qui composent . On peut
alors écrire
On choisit ensuite

intervalles qui composent l’ouvert




telle que

pour tout



Remarques
1. On peut dans tout le texte remplacer
l’expression "fonction continue par morceaux" par l’expression
"fonction réglée".
2. La relation est
vraie, mais non triviale. On ne l’a pas utilisée ici.